2.2.3 Accélération d’un pointDe même que pour la vitesse on peut définir les vecteurs accélération moyenne
et accélération instantanée.
Le vecteur accélération moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesses à des
instants t
1 et t
2Le vecteur accélération instantanée correspond à la dérivée du vecteur vitesse
par rapport au temps
ou
Les remarques sur la vitesse concernant la base et le référentiel sont aussi
valables pour l’accélération
En
coordonnées cartésiennes (
base fixe) le mouvement du point
M par rapport au
référentiel cartésien donne le vecteur accélération :
ou
En
coordonnées cylindriques (
base mobile) le mouvement du point
M par rapport au
référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
ou
démonstration :
On a:
donc
et
donc
et
soit
ou
On notera les points suivants : ● L’unité légale de l’accélération est le mètre par seconde
au carré m.s
-2 ● La direction et le sens du vecteur accélération par rapport
à sa trajectoire n’est pas aisément exprimable sans l’utilisation des coordonnées
intrinsèques (paragraphe suivant)
● Comme pour tout vecteur la norme de l’accélération correspond
à la racine carrée de la somme du carré des composantes de ce vecteur.
●
● L’aire d’un arc de cercle d’angle
q vaut
et sa dérivée par rapport au temps qui
vaut
s’appelle
la vitesse aréolaire. Si le mouvement est tel que l’accélération orthoradiale
est nulle alors
et
est une
constante donc le mouvement s’effectue à vitesse aréolaire constante. Cela correspond
aux mouvements planétaires.
2.2.4 Coordonnées intrinsèques. Composantes de Frenet.On peut aussi exprimer la vitesse et l’accélération à partir d’une base mobile
défini à
partir des vecteurs :
:
Vecteur tangent à la trajectoire
au point M, dans le sens du mouvement
:
Vecteur normal à la trajectoire
dont la droite d’action passe par le
centre de courbure Ω de la
trajectoire en ce point
:
Vecteur binormal défini
à partir des deux précédents par
On appelle
plan osculateur ∏, le plan
:
Localement on confond la trajectoire avec le
cercle osculateur.
On défini une
abscisse curviligne s sur le cercle osculateur qui vérifie
soit encore
La vitesse s’exprime par :
et l’accélération s’en déduit :
On a déjà vu que
et de même
donc
Mais
n’est pas une grandeur accessible, alors
que
l’est,
on écrit donc :
soit
d’où l’expression :
2.2.5 Etude de mouvements2.2.5.1 Types de mouvementsDans le référentiel considéré.
La trajectoire peut être :
- rectiligne : - la trajectoire est une droite,
- le rayon de courbure est infini
et la composante normale de l’accélération est nulle.
- circulaire : - la trajectoire est un cercle,
- la trajectoire est donc plane,
- le rayon de courbure est constant.
- curviligne : - la trajectoire est une courbe.
- hélicoïdale : - la trajectoire est une hélice.
Le mouvement peut être :
- uniforme : - la valeur algébrique de la
vitesse est constante,
- le vecteur vitesse n’est pas forcément
constant,
- seule la composante tangentielle
de l’accélération est nulle.
- uniformément varié : - la valeur algébrique de l’accélération
tangentielle est constante.
- accéléré : - la valeur algébrique de
la vitesse augmente,
- la composante tangentielle de l’accélération
est dans le sens du mouvement.
- ralenti : - la valeur algébrique de
la vitesse diminue,
- la composante tangentielle de l’accélération
est dans le sens contraire du mouvement.
- sinusoïdal : - une composante de position
dépend sinusoïdalement du temps.
Le mouvement d’un solide peut être :
- de translation : - le vecteur vitesse est identique
en tout point du solide.
- de rotation : - la trajectoire de chaque
point du solide est circulaire.
Par exemple la nacelle d’une grande roue
a au démarrage un mouvement de translation circulaire uniformément varié
2.2.5.2 Traiter un exercice de cinématiqueLe but est généralement d’exprimer les équations horaires du mouvement pour
remonter éventuellement vers l’équation de la trajectoire.
● Lorsque la nature de la trajectoire est donnée,
il faut en déduire les conditions sur les caractéristiques exprimées dans une
base adaptée.
Exemple du mouvement circulaire sinusoïdal La trajectoire est circulaire on choisit
la base cylindrique.
La trajectoire est plane donc la coordonnée
z est nulle
La trajectoire est un cercle donc le rayon
est une constante (ce n’est pas lui qui dépend sinusoïdalement du temps)
Donc on peut déjà écrire en notant r le rayon
du cercle :
On remarque que la base mobile choisie ne
permet pas de faire apparaître le caractère sinusoïdal du mouvement
On en déduit l’expression de la vitesse :
puis l’expression de l’accélération :
Le caractère sinusoïdal apparaît dans l’expression
de
j :
où ω désigne
la pulsation et
j0 l’inclinaison
initiale.
●
Lorsque l’application des lois de la dynamique nous
fournis les coordonnées de l’accélération, alors il faut remonter par intégration
aux caractéristiques de vitesse puis de position. Les constantes d’intégration
seront déterminées par les conditions initiales du mouvement.
● Pour les applications numériques, il faut penser avant
tout calcul à se placer dans le système d’unités internationales (U.S.I.).
2.2.6 Quantités, résultantes et moments.Avant de passer à l’étude des causes du mouvement qu’est la dynamique on va
définir les grandeurs qui nous seront utiles par la suite.
Point | Système de point |
Quantité de mouvement
| Résultante cinétique
|
Moment cinétique
| Moment cinétique résultant
|
Quantité daccélération
| Résultante dynamique
|
Moment dynamique
| Moment dynamique résultant
|
On va distinguer dans l’appellation des grandeurs physiquement identiques selon
que l’on étudie un point ou un système de point.